Lo que está pidiendo es imposible. La Xbox 360 no fue equipado con una tarjeta de captura a diferencia de la Xbox One, a menos que el juego que este jugando tenga una función de grabación, entonces usted no puede registrar su juego de forma gratuita. Necesita comprar una tarjeta de captura.

No se puede. La Xbox 360 no tiene incorporado hardware de grabación por lo que tendrá que depender de algún tipo de sistema externo.
Puede grabar con su telefono, una cámara montada en un trípode, o una tarjeta de captura para su PC, estas son sus opciones.

Usted solo puede hacerlo comprando una tarjeta de captura, no hay otra opcion.